Giáo Dục

Giải Toán 9 Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Mobitool mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 32, 33, 34 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai thuộc chương 1 Đại số 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 8 Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết  Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:

– Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;

– Phép khai phương một tích, một thương;

– Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;

– Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;

– Phép trục căn thức ở mẫu.

Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rối áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.

Giải bài tập toán 9 trang 32, 33, 34 tập 1

Bài 58 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. 5sqrt{dfrac{1}{5}}+dfrac{1}{2}sqrt{20}+sqrt{5}

b. sqrt{dfrac{1}{2}}+sqrt{4,5}+sqrt{12,5};

c. sqrt{20}-sqrt{45}+3sqrt{18}+sqrt{72};

d. 0,1.sqrt{200}+2.sqrt{0,08}+0,4.sqrt{50}

Gợi ý đáp án:

a. 5sqrt{dfrac{1}{5}}+dfrac{1}{2}sqrt{20}+sqrt{5}

Ta có:

5sqrt{dfrac{1}{5}}+dfrac{1}{2}sqrt{20}+sqrt{5}

eqalign{ & = sqrt {{5^2}.{1 over 5}} + sqrt {{{left( {{1 over 2}} right)}^2}.20} + sqrt 5 cr & = sqrt {25.{1 over 5}} + sqrt {{1 over 4}.20} + sqrt 5 cr & = sqrt {{{25} over 5}} + sqrt {{{20} over 4}} + sqrt 5 cr & = sqrt 5 + sqrt 5 + sqrt 5 cr & = left( {1 + 1 + 1} right)sqrt 5 = 3sqrt 5 cr}

b. sqrt{dfrac{1}{2}}+sqrt{4,5}+sqrt{12,5};

Ta có:

sqrt{dfrac{1}{2}}+sqrt{4,5}+sqrt{12,5}

eqalign{ & = sqrt {{1 over 2}} + sqrt {{9 over 2}} + sqrt {{{25} over 2}} cr & = sqrt {{1 over 2}} + sqrt {9.{1 over 2}} + sqrt {25.{1 over 2}} cr & = sqrt {{1 over 2}} + sqrt {3^2.{1 over 2}} + sqrt {5^2.{1 over 2}} cr & = sqrt {{1 over 2}} + 3sqrt {{1 over 2}} + 5sqrt {{1 over 2}} cr & = left( {1 + 3 + 5} right).sqrt {{1 over 2}} cr & = 9sqrt {{1 over 2}} = 9{1 over {sqrt 2 }} cr & = 9.{{sqrt 2 } over {sqrt 2.sqrt 2 }} = {{9sqrt 2 } over 2} cr}

c. sqrt{20}-sqrt{45}+3sqrt{18}+sqrt{72};

Ta có:

eqalign{ & sqrt {20} - sqrt {45} + 3sqrt {18} + sqrt {72} cr & = sqrt {4.5} - sqrt {9.5} + 3sqrt {9.2} + sqrt {36.2} cr & = sqrt {{2^2}.5} - sqrt {{3^2}.5} + 3sqrt {{3^2}.2} + sqrt {{6^2}.2} cr & = 2sqrt 5 - 3sqrt 5 + 3.3sqrt 2 + 6sqrt 2 cr & = 2sqrt 5 - 3sqrt 5 + 9sqrt 2 + 6sqrt 2 cr & = left( {2sqrt 5 - 3sqrt 5 } right) + left( {9sqrt 2 + 6sqrt 2 } right) cr & = left( {2 - 3} right)sqrt 5 + left( {9 + 6} right)sqrt 2 cr & = - sqrt 5 + 15sqrt 2 = 15sqrt 2 - sqrt 5 cr}

d. 0,1.sqrt{200}+2.sqrt{0,08}+0,4.sqrt{50}

Ta có:

eqalign{ & 0,1sqrt {200} + 2sqrt {0,08} + 0,4.sqrt {50} cr & = 0,1sqrt {100.2} + 2sqrt {0,04.2} + 0,4sqrt {25.2} cr & = 0,1sqrt {10^2.2} + 2sqrt {0,2^2.2} + 0,4sqrt {5^2.2} cr & = 0,1.10sqrt 2 + 2.0,2sqrt 2 + 0,4.5sqrt 2 cr & = 1sqrt 2 + 0,4sqrt 2 + 2sqrt 2 cr & = left( {1 + 0,4 + 2} right)sqrt 2 = 3,4sqrt 2 cr}

Bài 59 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (với a>0, b>0):

a. 5sqrt{a}-4bsqrt{25a^{3}}+5asqrt{16ab^{2}}-2sqrt{9a};

b. 5asqrt{64ab^{3}}-sqrt{3}cdot sqrt{12a^{3}b^{3}}+2absqrt{9ab}-5bsqrt{81a^{3}b}.

Gợi ý đáp án:

a. 5sqrt{a}-4bsqrt{25a^{3}}+5asqrt{16ab^{2}}-2sqrt{9a};

Ta có:

5sqrt{a}-4bsqrt{25a^{3}}+5asqrt{16ab^{2}}-2sqrt{9a}

=5sqrt a - 4bsqrt{5^2.a^2.a}+5asqrt{4^2.b^2.a}-2sqrt{3^2.a}

=5sqrt a - 4bsqrt{(5a)^2.a}+5asqrt{(4b)^2.a}-2sqrt{3^2.a}

=5sqrt a - 4b.5asqrt{.a}+5a.4bsqrt{a}-2.3sqrt{a}

=5sqrt{a}-20absqrt{a}+20absqrt{a}-6sqrt{a}

=(5sqrt{a}-6sqrt{a})+(-20absqrt{a}+20absqrt{a}) =(5-6)sqrt a=-sqrt{a}

b. 5asqrt{64ab^{3}}-sqrt{3}cdot sqrt{12a^{3}b^{3}}+2absqrt{9ab}-5bsqrt{81a^{3}b}.

Ta có:

5asqrt{64ab^{3}}-sqrt{3}.sqrt{12a^{3}b^{3}}+2absqrt{9ab}-5bsqrt{81a^{3}b}

=5asqrt{8^2.b^2.ab}-sqrt{3}.sqrt{2^2.3.(ab)^2.ab},+2absqrt{3^2.ab}-5bsqrt{9^2.a^2.ab}

=5asqrt{(8b)^2.ab}-sqrt{3}.sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2absqrt{3^2.ab},-5bsqrt{(9a)^2.ab}

=5a.8bsqrt{ab}-sqrt{3}.2sqrt 3 absqrt{ab}+2ab.3sqrt{ab},-5b.9asqrt{ab}

=40absqrt{ab}-2.3absqrt{ab}+6absqrt{ab}-45absqrt{ab}

=40absqrt{ab}-6absqrt{ab}+6absqrt{ab}-45absqrt{ab} =40absqrt{ab}-45absqrt{ab}

=(40-45)absqrt{ab} =-5absqrt{ab}.

Bài 60 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho biểu thức B= sqrt{16x+16}-sqrt{9x+9}+sqrt{4x+4}+sqrt{x+1} với xgeq -1.

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Gợi ý đáp án:

a) Ta có:

B= sqrt{16x+16}-sqrt{9x+9}+sqrt{4x+4}+sqrt{x+1}

= sqrt{16(x+1)}-sqrt{9(x+1)}+sqrt{4(x+1)}+sqrt{x+1}

= sqrt{4^2(x+1)}-sqrt{3^2(x+1)}+sqrt{2^2(x+1)}+sqrt{x+1}

= 4sqrt{x+1}-3sqrt{x+1}+2sqrt{x+1}+sqrt{x+1}

=(4-3+2+1)sqrt{x+1} =4sqrt{x+1}.

b) Ta có:

B = 16 Leftrightarrow 4sqrt {x + 1} = 16

eqalign{ & Leftrightarrow sqrt {x + 1} = {{16} over 4} cr & Leftrightarrow sqrt {x + 1} = 4 cr & Leftrightarrow {left( {sqrt {x + 1} } right)^2} = {4^2} cr & Leftrightarrow x + 1 = 16 cr & Leftrightarrow x = 16 - 1 cr & Leftrightarrow x = 15(text{thỏa mãn},xge -1) cr}

Vậy với x=15 thì B=16.

Bài 61 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a. dfrac{3}{2}sqrt 6+ 2sqrt{dfrac{2}{3}}-4sqrt{dfrac{3}{2}}=dfrac{sqrt 6}{6}

Gợi ý đáp án:

a. dfrac{3}{2}sqrt 6+ 2sqrt{dfrac{2}{3}}-4sqrt{dfrac{3}{2}}=dfrac{sqrt 6}{6}

Biến đổi vế trái ta có:

VT = dfrac{3}{2}sqrt 6+ 2sqrt{dfrac{2}{3}}-4sqrt{dfrac{3}{2}}

=3dfrac{sqrt 6}{2}+2dfrac{sqrt{2}}{sqrt 3}-4dfrac{sqrt 3}{sqrt 2}

=3dfrac{sqrt 6}{2}+2dfrac{sqrt 2sqrt 3}{sqrt 3 .sqrt 3}-4.dfrac{sqrt 3 .sqrt 2}{sqrt 2.sqrt 2}

=3dfrac{sqrt 6}{2}+2dfrac{sqrt 6}{3}-4dfrac{sqrt 6}{2}

=3dfrac{sqrt 6 .3}{2.3}+2dfrac{sqrt 6 .2}{3.2}-4dfrac{sqrt 6 .3}{2.3}

=9dfrac{sqrt 6}{6}+4dfrac{sqrt 6}{6}-12dfrac{sqrt 6}{6} =(9+4-12)dfrac{sqrt 6}{6}=dfrac{sqrt 6}{6}=VP.

Biến đổi vế trái ta có:

VT = left( {xsqrt {dfrac{6}{x}} + sqrt {dfrac{2x}{3}} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x}

eqalign{ & = left( {xsqrt {{{6x} over {{x^2}}}} + sqrt {{{2x.3} over {{3^2}}}} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {x{{sqrt {6x} } over {sqrt {{x^2}} }} + {{sqrt {6x} } over {sqrt {{3^2}} }} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {x{{sqrt {6x} } over x} + {{sqrt {6x} } over 3} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {1.sqrt {6x} + {1 over 3}sqrt {6x} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {1 + {1 over 3} + 1} right)sqrt {6x} :sqrt {6x} cr & = {7 over 3}sqrt {6x} :sqrt {6x} cr & = dfrac{7}{3} =VP.cr}

Giải bài tập toán 9 trang 33: Luyện tập

Bài 62 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. dfrac{1}{2}sqrt{48}-2sqrt{75}-dfrac{sqrt{33}}{sqrt{11}}+5sqrt{1dfrac{1}{3}};

Ta có:

dfrac{1}{2}sqrt{48}-2sqrt{75}-dfrac{sqrt{33}}{sqrt{11}}+5sqrt{1dfrac{1}{3}}

=dfrac{1}{2}sqrt{16. 3}-2sqrt{25. 3}-dfrac{sqrt{3.11}}{sqrt{11}}+5sqrt{dfrac{1.3+1}{3}}

=dfrac{1}{2}sqrt{4^2. 3}-2sqrt{5^2. 3}-dfrac{sqrt 3.sqrt{11}}{sqrt{11}}+5sqrt{dfrac{4}{3}}

=dfrac{1}{2}.4sqrt{ 3}-2.5sqrt{3}-sqrt{3}+5dfrac{sqrt 4}{sqrt 3}

=dfrac{4}{2}sqrt{ 3}-10sqrt{3}-sqrt{3}+5dfrac{sqrt{4}.sqrt 3}{sqrt{3}.sqrt {3}}

=2sqrt{ 3}-10sqrt{3}-sqrt{3}+5dfrac{2sqrt{3}}{3}

=2sqrt{ 3}-10sqrt{3}-sqrt{3}+10dfrac{sqrt{3}}{3}

= left( {2 - 10 - 1 + dfrac{10}{3} }right)sqrt 3

=-dfrac{17}{3}sqrt 3.

b. sqrt{150}+sqrt{1,6}. sqrt{60}+4,5.sqrt{2dfrac{2}{3}}-sqrt{6};

Ta có:

sqrt{150}+sqrt{1,6}. sqrt{60}+4,5. sqrt{2dfrac{2}{3}}-sqrt{6}

=sqrt{25. 6}+sqrt{1,6. 60}+4,5.sqrt{dfrac{2.3+2}{3}}-sqrt{6}

=sqrt{5^2. 6}+sqrt{1,6. (6.10)}+4,5sqrt{dfrac{8}{3}}-sqrt{6}

=5sqrt{ 6}+sqrt{(1,6. 10).6}+4,5dfrac{sqrt 8}{sqrt 3}-sqrt{6}

=5sqrt{ 6}+sqrt{16.6}+4,5dfrac{sqrt 8 . sqrt 3}{ 3}-sqrt{6}

=5sqrt{ 6}+sqrt{4^2.6}+4,5dfrac{sqrt {8 .3}}{ 3}-sqrt{6}

= 5sqrt{6}+4sqrt{ 6}+4,5. dfrac{sqrt{4.2. 3}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+4,5. dfrac{sqrt{2^2.6}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+4,5. 2dfrac{sqrt{6}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+9dfrac{sqrt{6}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+3sqrt{6}-sqrt{6}

=(5+4+3-1)sqrt{6}=11sqrt{6}.

c. (sqrt{28}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{84};

Ta có:

=(sqrt{28}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{84}

=(sqrt{4.7}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{4.21}

=(sqrt{2^2.7}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{2^2.21}

=(2sqrt{7}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+2sqrt{21}

= 2sqrt{7}.sqrt{7}-2sqrt{3}.sqrt{7}+sqrt{7}.sqrt{7}+2sqrt{21}

=2.(sqrt{7})^2-2sqrt{3.7}+(sqrt{7})^2+2sqrt{21} =2.7-2sqrt{21}+7+2sqrt{21}

=14-2sqrt{21}+7+2sqrt{21} =14+7=21.

d. (sqrt{6}+sqrt{5})^{2}-sqrt{120}.

Ta có:

(sqrt{6}+sqrt{5})^{2}-sqrt{120}

=(sqrt 6)^2+2.sqrt 6 .sqrt 5+(sqrt 5)^2-sqrt{4.30} =6+2sqrt{6.5}+5-2sqrt{30}

=6+2sqrt{30}+5-2sqrt{30}=6+5=11.

Bài 63 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn biểu thức sau:

b.

Gợi ý đáp án

Ta có:

sqrt{dfrac{a}{b}}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}sqrt{dfrac{b}{a}}

=dfrac{sqrt{a}}{sqrt b}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}.dfrac{sqrt{b}}{sqrt a}

=dfrac{sqrt{a}.sqrt b}{(sqrt b)^2}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}.dfrac{sqrt{b}.sqrt a}{(sqrt a)^2}

=dfrac{sqrt{ab}}{b}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}.dfrac{sqrt{ab}}{a} =dfrac{sqrt{ab}}{b}+sqrt{ab}+dfrac{sqrt{ab}}{b}

={left(dfrac{sqrt{ab}}{b}+dfrac{sqrt{ab}}{b} right)}+sqrt{ab} =dfrac{2sqrt{ab}}{b}+sqrt{ab}

=dfrac{2sqrt{ab}}{b}+dfrac{bsqrt{ab}}{b} =dfrac{2+b}{b}sqrt{ab}.

b.

Ta có:

sqrt{dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.sqrt{dfrac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}} =sqrt{dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.sqrt{dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}

=sqrt{dfrac{m}{1-2x+x^{2}}.dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}} =sqrt{dfrac{m}{1}.dfrac{4m}{81}}=sqrt{dfrac{4m^{2}}{81}}

=sqrt{dfrac{(2m)^2}{9^2}}=dfrac{|2m|}{9}=dfrac{2m}{9}.

(vì m >0 nên |2m|=2m.)

Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a. left ( dfrac{1-asqrt{a}}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1-sqrt{a}}{1-a} right )^{2}= 1 với a ≥ 0 và a ≠ 1

Gợi ý đáp án:

Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

VT=left ( dfrac{1-asqrt{a}}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1-sqrt{a}}{1-a} right )^{2}

=left ( dfrac{1-(sqrt{a})^3}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1-sqrt{a}}{(1-sqrt a)(1+ sqrt a)} right )^{2}

=left ( dfrac{(1-sqrt{a})(1+sqrt a+(sqrt a)^2)}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1}{1+ sqrt a} right )^{2}

=left [ (1+sqrt a+(sqrt a)^2) +sqrt{a}right ]. dfrac{1}{(1+ sqrt a)^2}

=left [ (1+2sqrt a+(sqrt a)^2)right ]. dfrac{1}{(1+ sqrt a)^2} =(1+sqrt a)^2. dfrac{1}{(1+ sqrt a)^2}=1=VP.

Ta có:

VT=dfrac{a+b}{b^{2}}sqrt{dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}

=dfrac{a+b}{b^{2}}sqrt{dfrac{(ab^2)^2}{(a+b)^2}} =dfrac{a+b}{b^{2}}dfrac{sqrt{(ab^2)^2}}{sqrt{(a+b)^2}}

=dfrac{a+b}{b^{2}}dfrac{|ab^2|}{|a+b|} =dfrac{a+b}{b^{2}}.dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP

Bài 65 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:

Gợi ý đáp án:

Ta có:

M={left(dfrac{1}{a -sqrt a} +dfrac{1}{sqrt a -1}right)} : dfrac{sqrt a +1}{a -2sqrt a+1}

={left(dfrac{1}{sqrt a .sqrt a -sqrt a .1}+dfrac{1}{sqrt a -1} right)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a)^2 -2sqrt a+1}

={left(dfrac{1}{sqrt a(sqrt a -1)}+dfrac{1}{sqrt a -1} right)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a -1)^2}

={left(dfrac{1}{sqrt a(sqrt a -1)}+dfrac{sqrt a}{sqrt a(sqrt a -1)} right)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a -1)^2}

=dfrac{1+sqrt a}{sqrt a(sqrt a -1)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a -1)^2}

=dfrac{1+sqrt a}{sqrt a(sqrt a -1)} . dfrac{(sqrt a -1)^2}{sqrt a +1}

=dfrac{1}{sqrt a} . dfrac{sqrt a -1}{1}=dfrac{sqrt a -1}{sqrt a}. =dfrac{sqrt a}{sqrt a}-dfrac{1}{sqrt a} =1 -dfrac{1}{sqrt a}

Vì a > 0

Vậy M < 1.

Bài 66 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Giá trị của biểu thức dfrac{1}{2+sqrt{3}}+dfrac{1}{2-sqrt{3}} bằng:

(A) dfrac{1}{2};

(B) 1;

(C) -4;

(D) 4.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Gợi ý đáp án:

Ta có:

dfrac{1}{2+sqrt{3}}+dfrac{1}{2-sqrt{3}}

=dfrac{2-sqrt{3}}{(2+sqrt{3})(2-sqrt{3})}+dfrac{2+sqrt{3}}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}

=dfrac{2-sqrt{3}}{2^2-(sqrt 3)^2}+dfrac{2+sqrt{3}}{2^2-(sqrt 3)^2}

=dfrac{2-sqrt{3}}{4-3}+dfrac{2+sqrt{3}}{4-3}

=dfrac{2-sqrt{3}}{1}+dfrac{2+sqrt{3}}{1} =2-sqrt{3}+2+sqrt{3}=4.

Chọn đáp án (D). 4

Mobitool mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 32, 33, 34 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 8 Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai thuộc chương 1 Đại số 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 8 Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết  Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:

– Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;

– Phép khai phương một tích, một thương;

– Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;

– Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;

– Phép trục căn thức ở mẫu.

Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rối áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.

Giải bài tập toán 9 trang 32, 33, 34 tập 1

Bài 58 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. 5sqrt{dfrac{1}{5}}+dfrac{1}{2}sqrt{20}+sqrt{5}

b. sqrt{dfrac{1}{2}}+sqrt{4,5}+sqrt{12,5};

c. sqrt{20}-sqrt{45}+3sqrt{18}+sqrt{72};

d. 0,1.sqrt{200}+2.sqrt{0,08}+0,4.sqrt{50}

Gợi ý đáp án:

a. 5sqrt{dfrac{1}{5}}+dfrac{1}{2}sqrt{20}+sqrt{5}

Ta có:

5sqrt{dfrac{1}{5}}+dfrac{1}{2}sqrt{20}+sqrt{5}

eqalign{ & = sqrt {{5^2}.{1 over 5}} + sqrt {{{left( {{1 over 2}} right)}^2}.20} + sqrt 5 cr & = sqrt {25.{1 over 5}} + sqrt {{1 over 4}.20} + sqrt 5 cr & = sqrt {{{25} over 5}} + sqrt {{{20} over 4}} + sqrt 5 cr & = sqrt 5 + sqrt 5 + sqrt 5 cr & = left( {1 + 1 + 1} right)sqrt 5 = 3sqrt 5 cr}

b. sqrt{dfrac{1}{2}}+sqrt{4,5}+sqrt{12,5};

Ta có:

sqrt{dfrac{1}{2}}+sqrt{4,5}+sqrt{12,5}

eqalign{ & = sqrt {{1 over 2}} + sqrt {{9 over 2}} + sqrt {{{25} over 2}} cr & = sqrt {{1 over 2}} + sqrt {9.{1 over 2}} + sqrt {25.{1 over 2}} cr & = sqrt {{1 over 2}} + sqrt {3^2.{1 over 2}} + sqrt {5^2.{1 over 2}} cr & = sqrt {{1 over 2}} + 3sqrt {{1 over 2}} + 5sqrt {{1 over 2}} cr & = left( {1 + 3 + 5} right).sqrt {{1 over 2}} cr & = 9sqrt {{1 over 2}} = 9{1 over {sqrt 2 }} cr & = 9.{{sqrt 2 } over {sqrt 2.sqrt 2 }} = {{9sqrt 2 } over 2} cr}

c. sqrt{20}-sqrt{45}+3sqrt{18}+sqrt{72};

Ta có:

eqalign{ & sqrt {20} - sqrt {45} + 3sqrt {18} + sqrt {72} cr & = sqrt {4.5} - sqrt {9.5} + 3sqrt {9.2} + sqrt {36.2} cr & = sqrt {{2^2}.5} - sqrt {{3^2}.5} + 3sqrt {{3^2}.2} + sqrt {{6^2}.2} cr & = 2sqrt 5 - 3sqrt 5 + 3.3sqrt 2 + 6sqrt 2 cr & = 2sqrt 5 - 3sqrt 5 + 9sqrt 2 + 6sqrt 2 cr & = left( {2sqrt 5 - 3sqrt 5 } right) + left( {9sqrt 2 + 6sqrt 2 } right) cr & = left( {2 - 3} right)sqrt 5 + left( {9 + 6} right)sqrt 2 cr & = - sqrt 5 + 15sqrt 2 = 15sqrt 2 - sqrt 5 cr}

d. 0,1.sqrt{200}+2.sqrt{0,08}+0,4.sqrt{50}

Ta có:

eqalign{ & 0,1sqrt {200} + 2sqrt {0,08} + 0,4.sqrt {50} cr & = 0,1sqrt {100.2} + 2sqrt {0,04.2} + 0,4sqrt {25.2} cr & = 0,1sqrt {10^2.2} + 2sqrt {0,2^2.2} + 0,4sqrt {5^2.2} cr & = 0,1.10sqrt 2 + 2.0,2sqrt 2 + 0,4.5sqrt 2 cr & = 1sqrt 2 + 0,4sqrt 2 + 2sqrt 2 cr & = left( {1 + 0,4 + 2} right)sqrt 2 = 3,4sqrt 2 cr}

Bài 59 (trang 32 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau (với a>0, b>0):

a. 5sqrt{a}-4bsqrt{25a^{3}}+5asqrt{16ab^{2}}-2sqrt{9a};

b. 5asqrt{64ab^{3}}-sqrt{3}cdot sqrt{12a^{3}b^{3}}+2absqrt{9ab}-5bsqrt{81a^{3}b}.

Gợi ý đáp án:

a. 5sqrt{a}-4bsqrt{25a^{3}}+5asqrt{16ab^{2}}-2sqrt{9a};

Ta có:

5sqrt{a}-4bsqrt{25a^{3}}+5asqrt{16ab^{2}}-2sqrt{9a}

=5sqrt a - 4bsqrt{5^2.a^2.a}+5asqrt{4^2.b^2.a}-2sqrt{3^2.a}

=5sqrt a - 4bsqrt{(5a)^2.a}+5asqrt{(4b)^2.a}-2sqrt{3^2.a}

=5sqrt a - 4b.5asqrt{.a}+5a.4bsqrt{a}-2.3sqrt{a}

=5sqrt{a}-20absqrt{a}+20absqrt{a}-6sqrt{a}

=(5sqrt{a}-6sqrt{a})+(-20absqrt{a}+20absqrt{a}) =(5-6)sqrt a=-sqrt{a}

b. 5asqrt{64ab^{3}}-sqrt{3}cdot sqrt{12a^{3}b^{3}}+2absqrt{9ab}-5bsqrt{81a^{3}b}.

Ta có:

5asqrt{64ab^{3}}-sqrt{3}.sqrt{12a^{3}b^{3}}+2absqrt{9ab}-5bsqrt{81a^{3}b}

=5asqrt{8^2.b^2.ab}-sqrt{3}.sqrt{2^2.3.(ab)^2.ab},+2absqrt{3^2.ab}-5bsqrt{9^2.a^2.ab}

=5asqrt{(8b)^2.ab}-sqrt{3}.sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2absqrt{3^2.ab},-5bsqrt{(9a)^2.ab}

=5a.8bsqrt{ab}-sqrt{3}.2sqrt 3 absqrt{ab}+2ab.3sqrt{ab},-5b.9asqrt{ab}

=40absqrt{ab}-2.3absqrt{ab}+6absqrt{ab}-45absqrt{ab}

=40absqrt{ab}-6absqrt{ab}+6absqrt{ab}-45absqrt{ab} =40absqrt{ab}-45absqrt{ab}

=(40-45)absqrt{ab} =-5absqrt{ab}.

Bài 60 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho biểu thức B= sqrt{16x+16}-sqrt{9x+9}+sqrt{4x+4}+sqrt{x+1} với xgeq -1.

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Gợi ý đáp án:

a) Ta có:

B= sqrt{16x+16}-sqrt{9x+9}+sqrt{4x+4}+sqrt{x+1}

= sqrt{16(x+1)}-sqrt{9(x+1)}+sqrt{4(x+1)}+sqrt{x+1}

= sqrt{4^2(x+1)}-sqrt{3^2(x+1)}+sqrt{2^2(x+1)}+sqrt{x+1}

= 4sqrt{x+1}-3sqrt{x+1}+2sqrt{x+1}+sqrt{x+1}

=(4-3+2+1)sqrt{x+1} =4sqrt{x+1}.

b) Ta có:

B = 16 Leftrightarrow 4sqrt {x + 1} = 16

eqalign{ & Leftrightarrow sqrt {x + 1} = {{16} over 4} cr & Leftrightarrow sqrt {x + 1} = 4 cr & Leftrightarrow {left( {sqrt {x + 1} } right)^2} = {4^2} cr & Leftrightarrow x + 1 = 16 cr & Leftrightarrow x = 16 - 1 cr & Leftrightarrow x = 15(text{thỏa mãn},xge -1) cr}

Vậy với x=15 thì B=16.

Bài 61 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a. dfrac{3}{2}sqrt 6+ 2sqrt{dfrac{2}{3}}-4sqrt{dfrac{3}{2}}=dfrac{sqrt 6}{6}

Gợi ý đáp án:

a. dfrac{3}{2}sqrt 6+ 2sqrt{dfrac{2}{3}}-4sqrt{dfrac{3}{2}}=dfrac{sqrt 6}{6}

Biến đổi vế trái ta có:

VT = dfrac{3}{2}sqrt 6+ 2sqrt{dfrac{2}{3}}-4sqrt{dfrac{3}{2}}

=3dfrac{sqrt 6}{2}+2dfrac{sqrt{2}}{sqrt 3}-4dfrac{sqrt 3}{sqrt 2}

=3dfrac{sqrt 6}{2}+2dfrac{sqrt 2sqrt 3}{sqrt 3 .sqrt 3}-4.dfrac{sqrt 3 .sqrt 2}{sqrt 2.sqrt 2}

=3dfrac{sqrt 6}{2}+2dfrac{sqrt 6}{3}-4dfrac{sqrt 6}{2}

=3dfrac{sqrt 6 .3}{2.3}+2dfrac{sqrt 6 .2}{3.2}-4dfrac{sqrt 6 .3}{2.3}

=9dfrac{sqrt 6}{6}+4dfrac{sqrt 6}{6}-12dfrac{sqrt 6}{6} =(9+4-12)dfrac{sqrt 6}{6}=dfrac{sqrt 6}{6}=VP.

Biến đổi vế trái ta có:

VT = left( {xsqrt {dfrac{6}{x}} + sqrt {dfrac{2x}{3}} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x}

eqalign{ & = left( {xsqrt {{{6x} over {{x^2}}}} + sqrt {{{2x.3} over {{3^2}}}} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {x{{sqrt {6x} } over {sqrt {{x^2}} }} + {{sqrt {6x} } over {sqrt {{3^2}} }} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {x{{sqrt {6x} } over x} + {{sqrt {6x} } over 3} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {1.sqrt {6x} + {1 over 3}sqrt {6x} + sqrt {6x} } right):sqrt {6x} cr & = left( {1 + {1 over 3} + 1} right)sqrt {6x} :sqrt {6x} cr & = {7 over 3}sqrt {6x} :sqrt {6x} cr & = dfrac{7}{3} =VP.cr}

Giải bài tập toán 9 trang 33: Luyện tập

Bài 62 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a. dfrac{1}{2}sqrt{48}-2sqrt{75}-dfrac{sqrt{33}}{sqrt{11}}+5sqrt{1dfrac{1}{3}};

Ta có:

dfrac{1}{2}sqrt{48}-2sqrt{75}-dfrac{sqrt{33}}{sqrt{11}}+5sqrt{1dfrac{1}{3}}

=dfrac{1}{2}sqrt{16. 3}-2sqrt{25. 3}-dfrac{sqrt{3.11}}{sqrt{11}}+5sqrt{dfrac{1.3+1}{3}}

=dfrac{1}{2}sqrt{4^2. 3}-2sqrt{5^2. 3}-dfrac{sqrt 3.sqrt{11}}{sqrt{11}}+5sqrt{dfrac{4}{3}}

=dfrac{1}{2}.4sqrt{ 3}-2.5sqrt{3}-sqrt{3}+5dfrac{sqrt 4}{sqrt 3}

=dfrac{4}{2}sqrt{ 3}-10sqrt{3}-sqrt{3}+5dfrac{sqrt{4}.sqrt 3}{sqrt{3}.sqrt {3}}

=2sqrt{ 3}-10sqrt{3}-sqrt{3}+5dfrac{2sqrt{3}}{3}

=2sqrt{ 3}-10sqrt{3}-sqrt{3}+10dfrac{sqrt{3}}{3}

= left( {2 - 10 - 1 + dfrac{10}{3} }right)sqrt 3

=-dfrac{17}{3}sqrt 3.

b. sqrt{150}+sqrt{1,6}. sqrt{60}+4,5.sqrt{2dfrac{2}{3}}-sqrt{6};

Ta có:

sqrt{150}+sqrt{1,6}. sqrt{60}+4,5. sqrt{2dfrac{2}{3}}-sqrt{6}

=sqrt{25. 6}+sqrt{1,6. 60}+4,5.sqrt{dfrac{2.3+2}{3}}-sqrt{6}

=sqrt{5^2. 6}+sqrt{1,6. (6.10)}+4,5sqrt{dfrac{8}{3}}-sqrt{6}

=5sqrt{ 6}+sqrt{(1,6. 10).6}+4,5dfrac{sqrt 8}{sqrt 3}-sqrt{6}

=5sqrt{ 6}+sqrt{16.6}+4,5dfrac{sqrt 8 . sqrt 3}{ 3}-sqrt{6}

=5sqrt{ 6}+sqrt{4^2.6}+4,5dfrac{sqrt {8 .3}}{ 3}-sqrt{6}

= 5sqrt{6}+4sqrt{ 6}+4,5. dfrac{sqrt{4.2. 3}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+4,5. dfrac{sqrt{2^2.6}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+4,5. 2dfrac{sqrt{6}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+9dfrac{sqrt{6}}{3}-sqrt{6}

=5sqrt{6}+4sqrt{6}+3sqrt{6}-sqrt{6}

=(5+4+3-1)sqrt{6}=11sqrt{6}.

c. (sqrt{28}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{84};

Ta có:

=(sqrt{28}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{84}

=(sqrt{4.7}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{4.21}

=(sqrt{2^2.7}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+sqrt{2^2.21}

=(2sqrt{7}-2sqrt{3}+sqrt{7})sqrt{7}+2sqrt{21}

= 2sqrt{7}.sqrt{7}-2sqrt{3}.sqrt{7}+sqrt{7}.sqrt{7}+2sqrt{21}

=2.(sqrt{7})^2-2sqrt{3.7}+(sqrt{7})^2+2sqrt{21} =2.7-2sqrt{21}+7+2sqrt{21}

=14-2sqrt{21}+7+2sqrt{21} =14+7=21.

d. (sqrt{6}+sqrt{5})^{2}-sqrt{120}.

Ta có:

(sqrt{6}+sqrt{5})^{2}-sqrt{120}

=(sqrt 6)^2+2.sqrt 6 .sqrt 5+(sqrt 5)^2-sqrt{4.30} =6+2sqrt{6.5}+5-2sqrt{30}

=6+2sqrt{30}+5-2sqrt{30}=6+5=11.

Bài 63 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn biểu thức sau:

b.

Gợi ý đáp án

Ta có:

sqrt{dfrac{a}{b}}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}sqrt{dfrac{b}{a}}

=dfrac{sqrt{a}}{sqrt b}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}.dfrac{sqrt{b}}{sqrt a}

=dfrac{sqrt{a}.sqrt b}{(sqrt b)^2}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}.dfrac{sqrt{b}.sqrt a}{(sqrt a)^2}

=dfrac{sqrt{ab}}{b}+sqrt{ab}+dfrac{a}{b}.dfrac{sqrt{ab}}{a} =dfrac{sqrt{ab}}{b}+sqrt{ab}+dfrac{sqrt{ab}}{b}

={left(dfrac{sqrt{ab}}{b}+dfrac{sqrt{ab}}{b} right)}+sqrt{ab} =dfrac{2sqrt{ab}}{b}+sqrt{ab}

=dfrac{2sqrt{ab}}{b}+dfrac{bsqrt{ab}}{b} =dfrac{2+b}{b}sqrt{ab}.

b.

Ta có:

sqrt{dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.sqrt{dfrac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}} =sqrt{dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.sqrt{dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}

=sqrt{dfrac{m}{1-2x+x^{2}}.dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}} =sqrt{dfrac{m}{1}.dfrac{4m}{81}}=sqrt{dfrac{4m^{2}}{81}}

=sqrt{dfrac{(2m)^2}{9^2}}=dfrac{|2m|}{9}=dfrac{2m}{9}.

(vì m >0 nên |2m|=2m.)

Bài 64 (trang 33 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các đẳng thức sau:

a. left ( dfrac{1-asqrt{a}}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1-sqrt{a}}{1-a} right )^{2}= 1 với a ≥ 0 và a ≠ 1

Gợi ý đáp án:

Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

VT=left ( dfrac{1-asqrt{a}}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1-sqrt{a}}{1-a} right )^{2}

=left ( dfrac{1-(sqrt{a})^3}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1-sqrt{a}}{(1-sqrt a)(1+ sqrt a)} right )^{2}

=left ( dfrac{(1-sqrt{a})(1+sqrt a+(sqrt a)^2)}{1-sqrt{a}} +sqrt{a}right ). left ( dfrac{1}{1+ sqrt a} right )^{2}

=left [ (1+sqrt a+(sqrt a)^2) +sqrt{a}right ]. dfrac{1}{(1+ sqrt a)^2}

=left [ (1+2sqrt a+(sqrt a)^2)right ]. dfrac{1}{(1+ sqrt a)^2} =(1+sqrt a)^2. dfrac{1}{(1+ sqrt a)^2}=1=VP.

Ta có:

VT=dfrac{a+b}{b^{2}}sqrt{dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}

=dfrac{a+b}{b^{2}}sqrt{dfrac{(ab^2)^2}{(a+b)^2}} =dfrac{a+b}{b^{2}}dfrac{sqrt{(ab^2)^2}}{sqrt{(a+b)^2}}

=dfrac{a+b}{b^{2}}dfrac{|ab^2|}{|a+b|} =dfrac{a+b}{b^{2}}.dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP

Bài 65 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1, biết:

Gợi ý đáp án:

Ta có:

M={left(dfrac{1}{a -sqrt a} +dfrac{1}{sqrt a -1}right)} : dfrac{sqrt a +1}{a -2sqrt a+1}

={left(dfrac{1}{sqrt a .sqrt a -sqrt a .1}+dfrac{1}{sqrt a -1} right)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a)^2 -2sqrt a+1}

={left(dfrac{1}{sqrt a(sqrt a -1)}+dfrac{1}{sqrt a -1} right)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a -1)^2}

={left(dfrac{1}{sqrt a(sqrt a -1)}+dfrac{sqrt a}{sqrt a(sqrt a -1)} right)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a -1)^2}

=dfrac{1+sqrt a}{sqrt a(sqrt a -1)} : dfrac{sqrt a +1}{(sqrt a -1)^2}

=dfrac{1+sqrt a}{sqrt a(sqrt a -1)} . dfrac{(sqrt a -1)^2}{sqrt a +1}

=dfrac{1}{sqrt a} . dfrac{sqrt a -1}{1}=dfrac{sqrt a -1}{sqrt a}. =dfrac{sqrt a}{sqrt a}-dfrac{1}{sqrt a} =1 -dfrac{1}{sqrt a}

Vì a > 0

Vậy M < 1.

Bài 66 (trang 34 SGK Toán 9 Tập 1)

Giá trị của biểu thức dfrac{1}{2+sqrt{3}}+dfrac{1}{2-sqrt{3}} bằng:

(A) dfrac{1}{2};

(B) 1;

(C) -4;

(D) 4.

Hãy chọn câu trả lời đúng.

Gợi ý đáp án:

Ta có:

dfrac{1}{2+sqrt{3}}+dfrac{1}{2-sqrt{3}}

=dfrac{2-sqrt{3}}{(2+sqrt{3})(2-sqrt{3})}+dfrac{2+sqrt{3}}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}

=dfrac{2-sqrt{3}}{2^2-(sqrt 3)^2}+dfrac{2+sqrt{3}}{2^2-(sqrt 3)^2}

=dfrac{2-sqrt{3}}{4-3}+dfrac{2+sqrt{3}}{4-3}

=dfrac{2-sqrt{3}}{1}+dfrac{2+sqrt{3}}{1} =2-sqrt{3}+2+sqrt{3}=4.

Chọn đáp án (D). 4

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button
You cannot copy content of this page