Học TậpLớp 8

Giải Toán 8 Bài 3: Diện tích tam giác

Giải bài tập SGK Toán 8 trang 121, 122, 123 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Diện tích tam giác Hình học 8 Chương 2. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 3 Chương II Hình học 8 tập 1.

Lý thuyết bài 3: Diện tích hình tam giác

1. Định lý

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.

Ta có: S=frac{1}{2}b.h.

Ví dụ: Cho tam giác Δ ABC có độ dài đường cao h = 4 cm, đáy BC = 5 cm. Tính diện tích Δ ABC?

Hướng dẫn:

Diện tích của tam giác Δ ABC là S_{ABC}=frac{1}{2}BC.h=frac{1}{2}4.5=10(cm^2).

2. Hệ quả

Nếu Δ ABC vuông (áp dụng với hình bên trên) thì diện tích của tam giác bằng một nửa của tích hai cạnh góc vuông.

Tổng quát : S=frac{1}{2}a.c (áp dụng với kí hiệu ở hình trên).

Giải bài tập Toán 8 trang 121 tập 1

Bài 16 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1)

Giải thích vì sao diện tích của tam giác được tô đậm trong hình 128, 129, 130 bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Bài 16

Gợi ý đáp án:

Trong mỗi hình trên ta đều có:

Diện tích hình chữ nhật là: a.h

Diện tích tam giác là: frac{1}{2}.a.h

⇒ Diện tích của tam giác bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Bài 17 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức:

AB.OM = OA.OB

Bài 17

Gợi ý đáp án:

Ta có cách tính diện tích tam giác AOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:

S = dfrac{{OM.AB}}{2}

Ta lại có cách tính diện tích tam giác AOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là

S = dfrac{{OA.OB}}{2}

Rightarrow dfrac{{OM.AB}}{2} = dfrac{{OA.OB}}{2},(=S)

Rightarrow OM.AB = OA.OB.

Bài 18 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM (h.132). Chứng minh: S AMB = S AMC

Bài 18

Gợi ý đáp án:

Bài 18

Dựng AH là đường cao của Delta ABC, khi đó Delta ABM,Delta AMC có chung chiều cao AH.

Ta có:

{S_{AMB}} = dfrac{1}{2}BM.AH (chiều cao AH và cạnh đáy BM)

{S_{AMC}} = dfrac{1}{2}CM.AH (chiều cao AH và cạnh đáy CM)

Mà BM = CM (vì AM là đường trung tuyến)

Vậy {S_{AMB}} = {S_{AMC}}.

Giải bài tập Toán 8 trang 122, 123 tập 1: Luyện tập

Bài 19 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1)

a) Xem hình 133. Hãy chỉ ra các tam giác có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)

Bài 19

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Gợi ý đáp án:

a) Các tam giác số 1, 3, 6 có cùng diện tích là 4 ô vuông

Các tam giác số 2, 8 có cùng diện tích là 3 ô vuông.

Các tam giác số 4, 5, 7 không có cùng diện tích với các tam giác nào khác (diện tích tam giác số 4 là 5 ô vuông, tam giác số 5 là 4, 5 ô vuông, tam giác số 7 là 3,5 ô vuông).

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì không nhất thiết bằng nhau.

Vì diện tích của tam giác là nửa tích của độ dài đáy với chiều cao tương ứng của đáy, nên chỉ cần tích của đáy với chiều cao bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau, hai cạnh còn lại có thể khác nhau.

Ví dụ như các tam giác 1, 3, 6 có cùng diện tích nhưng không bằng nhau.

Bài 20 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1)

Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

Gợi ý đáp án:

Bài 20

Cho ΔABC với đường cao AH.

Gọi M, N, I là trung điểm của AB, AC, AH.

Lấy E đối xứng với I qua M, D đối xứng với I qua N.

⇒ Hình chữ nhật BEDC là hình cần dựng.

Thật vậy:

Ta có ΔEBM = ΔIAM và ΔDCN = ΔIAN

⇒ SEBM = SAMI và SCND = SAIN

⇒ SABC = SAMI + SAIN + SBMNC = SEBM + SBMNC + SCND = SBCDE.

Suy ra SABC = SBCDE = BE.BC = 1frac{1}{2}.AH.BC. (Vì BE = IA = frac{AH}{2}).

Ta đã tìm lại công thức tính diện tích tam giác bằng một phương pháp khác

Bài 21 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật. ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE (h.134).

Bài 21

Gợi ý đáp án:

Ta có AD = BC = 5cm

Diện tích ΔADE:  S_{ADE}=frac{1}{2}.2.5=5cm^2

Diện tích hình chữ nhật ABCD: SABCD = 5x

Theo đề bài ta có SABCD = 3SADE ⇔ 5x = 3.5 ⇔ x = 3.

Vậy x = 3cm

Bài 22 (trang 122, 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Tam giác PAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.135). Hãy chỉ ra:

Bài 22

a) Một điểm I sao cho SPIF = SPAF

b) Một điểm O sao cho SPOF = 2.SPAF

c) Một điểm N sao cho S_{PNF}=frac{1}{2} S_{PAF}

Gợi ý đáp án:

Gọi AH là chiều cao của tam giác APF.

Ta có: S_{APF}=frac{AH.PF}{2}.

a) SPIF = SPAF

⇔ chiều cao IK = AH (Chung cạnh đáy PF).

⇔ I nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF 1 khoảng bằng AH.

b) SPOF = 2.SPAF

⇔ chiều cao OM = 2.AH

⇔ O nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng 2.AH

c) S_{PNF}=frac{1}{2} S_{PAF}

⇔ chiều cao NQ=frac{AH}{2}

⇔ N nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng frac{AH}{2}.

Bài 22

Bài 23 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho:

S AMB + S BMC = S MAC

Gợi ý đáp án:

Bài 23

Kẻ đường cao BH, MK.

Theo giả thiết, M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho:

{S_{AMB}} + {rm{ }}{S_{BMC}} = {rm{ }}{S_{MAC}} (1)

Ta lại có: {S_{AMB}} + {S_{BMC}} + {S_{MAC}} = {S_{ABC}} (2)

Thay (1) vào (2) ta được: {S_{MAC}}+ {S_{MAC}}={S_{ABC}}

Rightarrow 2.{S_{MAC}} = {S_{ABC}}

Rightarrow {S_{MAC}} = dfrac{1}{2}{S_{ABC}}

Rightarrow dfrac{1}{2}MK.AC = dfrac{1}{2}left( {dfrac{1}{2}BH.AC} right)

⇒MK = dfrac{1}{2}BH

Do đó, M nằm trên đường thẳng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B sao cho khoảng cách từ M đến AC bằng dfrac{1}{2} đường cao BH.

Vậy điểm M nằm trong tam giác ABC và nằm trên đường trung bình ứng với cạnh AC của ΔABC

Bài 24 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.

Gợi ý đáp án:

Gọi h là chiều cao của tam giác cân có đáy là a và cạnh bên là b.

Xét tam giác ABC cân tại A có AB = b, BC = a và chiều cao AH = h. Ta tính diện tích tam giác ABC.

Bài 24

Delta ABC cân tại A (gt) nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân). Suy ra, H là trung điểm của BC.

Rightarrow BH = dfrac{{BC}}{2} = dfrac{a}{2}

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:

A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}

{h^2} = {b^2} - {left( {dfrac{a}{2}} right)^2} = dfrac{{4{b^2} - {a^2}}}{4} Rightarrow h = dfrac{{sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{2}

Diện tích tam giác ABC là:

S = dfrac{1}{2}ah = dfrac{1}{2}a.dfrac{{sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{2} = dfrac{1}{4}asqrt {4{b^2} - {a^2}} .

Bài 25 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Gợi ý đáp án:

Bài 25

Gọi h là chiều cao của tam giác đều cạnh a

Xét tam giác ABC đều cạnh a, chiều cao AH = h. Ta tính diện tích tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều cạnh a có AH vừa là đường cao đồng thời là trung tuyến ứng với cạnh BC (tính chất tam giác đều).

Do đó H là trung điểm của BC.

Hay BH = dfrac{1}{2}BC = dfrac{a}{2}

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:

A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}

{h^2} = {a^2} - {left( {dfrac{a}{2}} right)^2} = dfrac{{3{a^2}}}{4}

Rightarrow h = dfrac{{asqrt 3 }}{2}

Vậy diện tích tam giác ABC là:

S _{ABC}= dfrac{1}{2}ah = dfrac{1}{2}a.dfrac{{asqrt 3 }}{2} = dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}

Giải bài tập SGK Toán 8 trang 121, 122, 123 giúp các em học sinh lớp 8 xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Diện tích tam giác Hình học 8 Chương 2. Qua đó các em sẽ nhanh chóng hoàn thiện toàn bộ bài tập của bài 3 Chương II Hình học 8 tập 1.

Lý thuyết bài 3: Diện tích hình tam giác

1. Định lý

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.

Ta có: S=frac{1}{2}b.h.

Ví dụ: Cho tam giác Δ ABC có độ dài đường cao h = 4 cm, đáy BC = 5 cm. Tính diện tích Δ ABC?

Hướng dẫn:

Diện tích của tam giác Δ ABC là S_{ABC}=frac{1}{2}BC.h=frac{1}{2}4.5=10(cm^2).

2. Hệ quả

Nếu Δ ABC vuông (áp dụng với hình bên trên) thì diện tích của tam giác bằng một nửa của tích hai cạnh góc vuông.

Tổng quát : S=frac{1}{2}a.c (áp dụng với kí hiệu ở hình trên).

Giải bài tập Toán 8 trang 121 tập 1

Bài 16 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1)

Giải thích vì sao diện tích của tam giác được tô đậm trong hình 128, 129, 130 bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Bài 16

Gợi ý đáp án:

Trong mỗi hình trên ta đều có:

Diện tích hình chữ nhật là: a.h

Diện tích tam giác là: frac{1}{2}.a.h

⇒ Diện tích của tam giác bằng nửa diện tích hình chữ nhật tương ứng.

Bài 17 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức:

AB.OM = OA.OB

Bài 17

Gợi ý đáp án:

Ta có cách tính diện tích tam giác AOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:

S = dfrac{{OM.AB}}{2}

Ta lại có cách tính diện tích tam giác AOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là

S = dfrac{{OA.OB}}{2}

Rightarrow dfrac{{OM.AB}}{2} = dfrac{{OA.OB}}{2},(=S)

Rightarrow OM.AB = OA.OB.

Bài 18 (trang 121 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM (h.132). Chứng minh: S AMB = S AMC

Bài 18

Gợi ý đáp án:

Bài 18

Dựng AH là đường cao của Delta ABC, khi đó Delta ABM,Delta AMC có chung chiều cao AH.

Ta có:

{S_{AMB}} = dfrac{1}{2}BM.AH (chiều cao AH và cạnh đáy BM)

{S_{AMC}} = dfrac{1}{2}CM.AH (chiều cao AH và cạnh đáy CM)

Mà BM = CM (vì AM là đường trung tuyến)

Vậy {S_{AMB}} = {S_{AMC}}.

Giải bài tập Toán 8 trang 122, 123 tập 1: Luyện tập

Bài 19 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1)

a) Xem hình 133. Hãy chỉ ra các tam giác có cùng diện tích (lấy ô vuông làm đơn vị diện tích)

Bài 19

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có bằng nhau hay không?

Gợi ý đáp án:

a) Các tam giác số 1, 3, 6 có cùng diện tích là 4 ô vuông

Các tam giác số 2, 8 có cùng diện tích là 3 ô vuông.

Các tam giác số 4, 5, 7 không có cùng diện tích với các tam giác nào khác (diện tích tam giác số 4 là 5 ô vuông, tam giác số 5 là 4, 5 ô vuông, tam giác số 7 là 3,5 ô vuông).

b) Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì không nhất thiết bằng nhau.

Vì diện tích của tam giác là nửa tích của độ dài đáy với chiều cao tương ứng của đáy, nên chỉ cần tích của đáy với chiều cao bằng nhau thì hai tam giác đó có diện tích bằng nhau, hai cạnh còn lại có thể khác nhau.

Ví dụ như các tam giác 1, 3, 6 có cùng diện tích nhưng không bằng nhau.

Bài 20 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1)

Vẽ hình chữ nhật có một cạnh bằng cạnh của một tam giác cho trước và có diện tích bằng diện tích của tam giác đó. Từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức tính diện tích tam giác.

Gợi ý đáp án:

Bài 20

Cho ΔABC với đường cao AH.

Gọi M, N, I là trung điểm của AB, AC, AH.

Lấy E đối xứng với I qua M, D đối xứng với I qua N.

⇒ Hình chữ nhật BEDC là hình cần dựng.

Thật vậy:

Ta có ΔEBM = ΔIAM và ΔDCN = ΔIAN

⇒ SEBM = SAMI và SCND = SAIN

⇒ SABC = SAMI + SAIN + SBMNC = SEBM + SBMNC + SCND = SBCDE.

Suy ra SABC = SBCDE = BE.BC = 1frac{1}{2}.AH.BC. (Vì BE = IA = frac{AH}{2}).

Ta đã tìm lại công thức tính diện tích tam giác bằng một phương pháp khác

Bài 21 (trang 122 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính x sao cho diện tích hình chữ nhật. ABCD gấp ba lần diện tích tam giác ADE (h.134).

Bài 21

Gợi ý đáp án:

Ta có AD = BC = 5cm

Diện tích ΔADE:  S_{ADE}=frac{1}{2}.2.5=5cm^2

Diện tích hình chữ nhật ABCD: SABCD = 5x

Theo đề bài ta có SABCD = 3SADE ⇔ 5x = 3.5 ⇔ x = 3.

Vậy x = 3cm

Bài 22 (trang 122, 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Tam giác PAF được vẽ trên giấy kẻ ô vuông (h.135). Hãy chỉ ra:

Bài 22

a) Một điểm I sao cho SPIF = SPAF

b) Một điểm O sao cho SPOF = 2.SPAF

c) Một điểm N sao cho S_{PNF}=frac{1}{2} S_{PAF}

Gợi ý đáp án:

Gọi AH là chiều cao của tam giác APF.

Ta có: S_{APF}=frac{AH.PF}{2}.

a) SPIF = SPAF

⇔ chiều cao IK = AH (Chung cạnh đáy PF).

⇔ I nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF 1 khoảng bằng AH.

b) SPOF = 2.SPAF

⇔ chiều cao OM = 2.AH

⇔ O nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng 2.AH

c) S_{PNF}=frac{1}{2} S_{PAF}

⇔ chiều cao NQ=frac{AH}{2}

⇔ N nằm trên đường thẳng song song với PF và cách PF một khoảng bằng frac{AH}{2}.

Bài 22

Bài 23 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Cho tam giác ABC. Hãy chỉ ra một số vị trí của điểm M nằm trong tam giác đó sao cho:

S AMB + S BMC = S MAC

Gợi ý đáp án:

Bài 23

Kẻ đường cao BH, MK.

Theo giả thiết, M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho:

{S_{AMB}} + {rm{ }}{S_{BMC}} = {rm{ }}{S_{MAC}} (1)

Ta lại có: {S_{AMB}} + {S_{BMC}} + {S_{MAC}} = {S_{ABC}} (2)

Thay (1) vào (2) ta được: {S_{MAC}}+ {S_{MAC}}={S_{ABC}}

Rightarrow 2.{S_{MAC}} = {S_{ABC}}

Rightarrow {S_{MAC}} = dfrac{1}{2}{S_{ABC}}

Rightarrow dfrac{1}{2}MK.AC = dfrac{1}{2}left( {dfrac{1}{2}BH.AC} right)

⇒MK = dfrac{1}{2}BH

Do đó, M nằm trên đường thẳng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC chứa B sao cho khoảng cách từ M đến AC bằng dfrac{1}{2} đường cao BH.

Vậy điểm M nằm trong tam giác ABC và nằm trên đường trung bình ứng với cạnh AC của ΔABC

Bài 24 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính diện tích của một tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.

Gợi ý đáp án:

Gọi h là chiều cao của tam giác cân có đáy là a và cạnh bên là b.

Xét tam giác ABC cân tại A có AB = b, BC = a và chiều cao AH = h. Ta tính diện tích tam giác ABC.

Bài 24

Delta ABC cân tại A (gt) nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân). Suy ra, H là trung điểm của BC.

Rightarrow BH = dfrac{{BC}}{2} = dfrac{a}{2}

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:

A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}

{h^2} = {b^2} - {left( {dfrac{a}{2}} right)^2} = dfrac{{4{b^2} - {a^2}}}{4} Rightarrow h = dfrac{{sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{2}

Diện tích tam giác ABC là:

S = dfrac{1}{2}ah = dfrac{1}{2}a.dfrac{{sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{2} = dfrac{1}{4}asqrt {4{b^2} - {a^2}} .

Bài 25 (trang 123 SGK Toán 8 Tập 1)

Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.

Gợi ý đáp án:

Bài 25

Gọi h là chiều cao của tam giác đều cạnh a

Xét tam giác ABC đều cạnh a, chiều cao AH = h. Ta tính diện tích tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều cạnh a có AH vừa là đường cao đồng thời là trung tuyến ứng với cạnh BC (tính chất tam giác đều).

Do đó H là trung điểm của BC.

Hay BH = dfrac{1}{2}BC = dfrac{a}{2}

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABH ta có:

A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}

{h^2} = {a^2} - {left( {dfrac{a}{2}} right)^2} = dfrac{{3{a^2}}}{4}

Rightarrow h = dfrac{{asqrt 3 }}{2}

Vậy diện tích tam giác ABC là:

S _{ABC}= dfrac{1}{2}ah = dfrac{1}{2}a.dfrac{{asqrt 3 }}{2} = dfrac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}

Có thể bạn quan tâm

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button